Perkalian Suatu Vektor dengan Skalar


Coba perhatikan ilustrasi tendangan bebas yang dilakukan oleh seorang pemain sepak bola dari beberapa titik di lapangan berikut ini.
              
       Pada posisi A, pemain membutuhkan vektor gaya sebesar v⃗  untuk menendang bola ke gawang. Pada posisi B yang jaraknya 2 kali jarak A, pemain membutuhkan 2 kali gaya yang dia lakukan di posisi A (2v⃗  ). Begitu pula di titik C dan D yang masing-masing berjarak 3 dan 3,5 kali jarak awal, pemain tersebut tentu membutuhkan gaya masing-masing sebesar 3 dan 3,5 kali gaya yang dia lakukan di posisi A (3v⃗  dan 3,5v⃗ ). Situasi tendangan bebas ini memberikan gambaran awal kepada kalian tentang perkalian vektor dengan skalar yang akan kita pelajari pada topik ini.


Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari tentang operasi penjumlahan dan pengurangan vektor. Menjumlahkan atau mengurangkan suatu vektor dengan vektor lainnya akan menghasilkan vektor juga. Nah, bagaimana jika suatu vektor dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real)? Apakah hasilnya vektor juga? Untuk tahu jawabannya, simak uraian di bawah ini ya.

🌱 Perkalian Vektor dengan Skalar


Perkalian vektor dengan skalar merupakan konsep yang sangat sederhana. Kita dapat menggunakan dua pendekatan untuk memahami konsep ini, yaitu pendekatan grafis (gambar) dan pendekatan matematis. Dalam pendekatan grafis (gambar), ilustrasi dari vektor-vektor yang terlibat harus diperhatikan dan digambarkan dengan benar, sedangkan dalam pendekatan matematis, komponen dari tiap vektor yang terlibat merupakan aspek utama yang harus diperhatikan.

🌿 Pendekatan Grafis

☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲
Secara grafis, perkalian suatu vektor V⃗  dengan suatu skalar k (bilangan real) sama halnya dengan mengubah panjang vektor menjadi k kali vektor semula. Ilustrasi berikut menunjukan vektor V⃗  yang diperpanjang dalam beberapa nilai k.
                            

📌 Untuk k > 0, arah vektor hasil perkalian tidak berubah, namun panjangnya menyesuaikan nilai k.
📌 Untuk k < 0, arah vektor hasil perkalian berlawanan dan panjangnya juga menyesuaikan nilai k.

       Nah, apa yang terjadi saat k = 0? Dapatkah kalian memperkirakan arah dan panjang vektor yang dimaksud? Ya, saat vektor dikali dengan k = 0, akan dihasilkan vektor 0 (0⃗ ) yang besar/ panjangnya 0 dan arahnya tak tentu (sebarang arah).

🌿 Pendekatan Matematis

☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲☲
Secara matematis, perkalian vektor V⃗  dengan skalar k sama halnya dengan mengalikan nilai k dengan setiap komponen dari vektor V⃗ . Misalkan pada vektor dimensi 2 (R²). Jika vektor V⃗ =v1,v2 dikali dengan skalar k, maka kV⃗ =kv1,v2=kv1,kv2. Konsep ini berlaku umum untuk semua vektor di semua dimensi, sehingga kita dapat menuliskan definisi perkalian vektor dengan skalar sebagai berikut.

Misalkan N⃗ =n1,n2,n3,...,nn merupakan vektor dalam dimensi n dan k suatu bilangan real maka:
                                                        

       Konsep matematis dari perkalian vektor dengan skalar dapat digunakan untuk menentukan kesejajaran dua vektor atau lebih. Vektor-vektor dikatakan sejajar (segaris) apabila masing-masing komponen yang bersesuaian pada tiap-tiap vektor saling berkelipatan. Dengan kata lain, vektor a,b,c, ka,kb,kc, 1ka,1kb,1kc merupakan vektor-vektor yang sejajar satu dengan lainnya.

🌱 Sifat-Sifat Perkalian Vektor dengan Skalar


Jika A⃗  dan B⃗  merupakan vektor dimensi n serta k dan l merupakan bilangan real (skalar), maka berlaku sifat-sifat hitung berikut.
                                    
       Seorang pembaca yang kritis tentu tidak akan menerima begitu saja kedelapan sifat-sifat tersebut. Untuk itu, 2 dari 8 sifat-sifat tersebut akan kita buktikan kebenarannya. Untuk sifat-sifat lainnya, kalian diharapkan mampu membuktikannya secara mandiri. Selamat mencoba.

Pembuktian


kA⃗ =A⃗ k

⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊
Misalkan A⃗ =a1,a2,a3,...,an. Berdasarkan definisi perkalian vektor dengan skalar, diperoleh:
kA=ka1,a2,a3,...,an=ka1,ka2,ka3,...,kanperkalianbersifatkomutatif=a1k,a2k,a3k,...,ank=a1,a2,a3,...,ank=Ak...Terbukti

k(A⃗ +B⃗ )=kA⃗ +kB⃗ 

⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊⚊
Misalkan A⃗ =a1,a2,a3,...,an dan B⃗ =b1,b2,b3,...,bn. Berdasarkan definisi perkalian vektor dengan skalar, diperoleh:
k(A+B)=k(a1,a2,a3,...,an+b1,b2,b3,...,bn)=k(a1+b1,a2+b2,a3+b3,...,an+bn)=ka1+b1,a2+b2,a3+b3,...,an+bn=k(a1+b1),k(a2+b2),k(a3+b3),...,k(an+bn)=ka1+kb1,ka2+kb2,ka3+kb3,...,kan+kbn=ka1,ka2,ka3,...,kan+kb1,kb2,kb3,...,kbn=ka1,a2,a3,...,an+kb1,b2,b3,...,bn=kA+kBTerbukti

Agar kalian lebih paham mengenai perkalian suatu vektor dengan skalar, perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

🎯 Contoh 1


Perhatikan gambar berikut.
                                                    
Dari dua vektor tersebut, gambarlah vektor-vektor:
a. M⃗  + 2N⃗ 
b. 2M⃗  - 12N⃗ 
c. M⃗  - 32N⃗ 

Penyelesaian:


a. M⃗  + 2N⃗ 


2N⃗  merupakan vektor N⃗  yang panjangnya dua kali semula dengan arah yang sama. Dengan menggunakan metode ujung ke pangkal pada penjumlahn vektor, diperoleh:

                                              
b. 2M⃗  - 12N⃗ 

Dengan menggunakan definisi perkalian vektor dengan skalar dan metode ujung ke pangkal pada penjumlahan vektor, diperoleh:

                               
c. M⃗  - 32N⃗ 

Dengan menggunakan definisi perkalian vektor dengan skalar dan metode ujung ke pangkal pada penjumlahan vektor, diperoleh:

                                          


🎯 Contoh 2


Diketahui dua vektor A⃗ =1,1,2,2,3,3 dan B⃗ =2,4,6,8,10,12. Hitunglah:
a. 2A⃗  - B⃗ 
b. A⃗  + 12B⃗ 

Penyelesaian:

Dengan menggunakan definisi perkalian vektor dan skalar serta penjumlahan dan pengurangan vektor, diperoleh:
a.2AB=21,1,2,2,3,32,4,6,8,10,12=2,2,4,4,6,62,4,6,8,10,12=22,24,46,48,610,612=0,2,2,4,4,6
b.A+12B=1,1,2,2,3,3+122,4,6,8,10,12=1,1,2,2,3,3+22,42,62,82,102,122=1,1,2,2,3,3+1,2,3,4,5,6=1+1,1+2,2+3,2+4,3+5,3+6=2,3,5,6,8,9


🎯 Contoh 3


Diketahui vektor D⃗ =1,2. Carilah vektor lain yang berpangkal di titik A (4,1) dan sejajar dengan vektor D⃗ .

Penyelesaian:

Mula-mula, gambarkan vektor yang diberikan.
              
Perhatikan bahwa, untuk menemukan vektor lain yang sejajar dengan vektor D⃗  dan berpangkal di titik A, maka vektor yang baru harus merupakan bagian dari garis yang melalui A seperti pada gambar di atas.
Dengan menggeser titik A ke kanan 1 satuan dan ke atas 2 satuan, kita akan mendapatkan titik B(5, 3). Perhatikan bahwa vektor A⃗ B=D⃗ .
              
Perhatikan bahwa komponen A⃗ B=D⃗  dapat diperoleh dengan mengurangkan titik B dan titik A, sehingga untuk mencari vektor lain selain D⃗ , cukup kita cari sebarang nilai k yang memenuhi persamaan berikut:
kD=OBOAOB=OA+kD
Untuk k = 1, akan kita peroleh A⃗ B=D⃗ , yaitu:
OB=OA+D=4,1+1,2=5,3B(5,3)
Dengan demikian, diperoleh:
AB=OBOA=5,34,1=1,2=D
Vektor yang berbeda dapat kita temukan dengan memilih nilai k ≠ 1. Misalnya, kita pilih k = 2, maka akan kita peroleh:
OB=OA+2D =4,1+21,2=4,1+2,4=6,5B(6,5)
Dengan demikian, diperoleh:
AB=OBOA=6,54,1=2,4
Jadi, terdapat takhingga banyaknya vektor yang sejajar dengan vektor D⃗  dan berpangkal di titik A. Salah satunya adalah 2,4.

Related Posts:

Post a Comment