LIMIT FUNGSI ALJABAR UNTUK X ~> ~


Pengertian
Limit fungsi aljabar untuk x -> ~ adalah limit dengan nilai x mendekati tak hingga.
Mari kita perhatikan tabel berikut :
Dari tabel di atas, terlihat bahwa untuk nilai x mendekati tak hingga diperoleh nilai 1/x mendekati 0.
Dengan demikian,

Cara menyelesaikan limit fungsi aljabar untuk x -> ~

Jika fungsi berbentuk f(x) ± g(x) dengan f(x) dan g(x) masing-masing fungsi irasional (bentuk akar), maka penyelesaian dengan cara mengalikan dengan sekawan dari bentuk f(x) ± g(x), kemudian dilanjutkan dengan cara seperti no. 1 di atas.

Contoh 4

Penyelesaian :

Contoh 5

Penyelesaian :

Contoh 6

Penyelesaian :

Contoh 7

Penyelesaian :

Contoh 8

Penyelesaian :
Dari beberapa contoh di atas, dapat kita simpulkan bahwa langkah-langkah menghitung nilai limit untuk x -> ~ dapat disesuaikan dengan bentuk fungsi limitnya :

1. Jika n = m, maka nilai h = a/p
2. Jika n < m, maka nilai h = 0
3. Jika n > m, maka nilai h = ~

1. Jika a = p, maka nilai h = 0
2. Jika a < p, maka nilai h = - ~
3. Jika a > p, maka nilai h = ~

a. Jika a = p, maka nilai h = (b - q) / 2√a
b. Jika a < p, maka nilai h = - ~
c. Jika a > p, maka nilai h = ~

Contoh 9
Hitung nilai

Penyelesaian :

Contoh 10
Hitung nilai

Penyelesaian :

Contoh 11

Penyelesaian :
Karena a = p maka

Related Posts:

LIMIT FUNGSI ALJABAR UNTUK X ~>a


Dasar untuk mempelajari kalkulus adalah konsep limit fungsi, yaitu limit fungsi aljabar dan limit fungsi trigonometri. Dalam topik ini kalian akan mempelajari materi Limit Fungsi Aljabar untuk x -> a.
Apakah kalian masih ingat bentuk bentuk fungsi polinomial (suku banyak), fungsi rasional (bentuk pecahan) dan fungsi irasional (bentuk akar)?
Bentuk bentuk fungsi itulah yang nanti akan kita limitkan dalam materi Limit Fungsi Aljabar ini.

Pengertian
Limit (nilai batas) adalah pendekatan terhadap suatu nilai atau harga tertentu. Jadi, harga batas (limit) bukanlah harga yang sebenarnya melainkan harga yang mendekati saja.

Bentuk umum penulisan
artinya menghitung nilai fungsi f(x) untuk nilai x mendekati nilai a.

Contoh 1
Diketahui f(x) = x + 3, dengan x ∈ R
Hitung nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati 2.

Penyelesaian :
Penulisan limit secara matematis untuk soal di atas adalah :
Nilai-nilai fungsi f(x) = x + 3 di sekitar x = 2 disajikan dalam tabel berikut :
Dari tabel di atas kita lihat bahwa nilai f(x) = x + 3 mendekati nilai 5 ketika nilai x mendekati 2, baik dari arah sisi kiri maupun dari arah sisi kanan.
Dengan demikian,

Contoh 2
Diketahui
dengan x ∈ R dan x ≠ 3
Hitung nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati 3.

Penyelesaian :
Nilai-nilai fungsi
di sekitar x = 3 disajikan dalam tabel berikut :
Dari tabel di atas kita lihat bahwa nilai
mendekati nilai 6 ketika nilai x mendekati 3.
Dengan demikian,

Contoh 3
Diketahui
Hitung nilai limit fungsi f(x) untuk x mendekati 1.

Penyelesaian :
Nilai-nilai fungsi f(x) di sekitar x = 1 disajikan dalam tabel berikut :
Dari tabel di atas kita lihat bahwa untuk nilai x -> 1, nilai fungsi f(x) tidak menuju ke satu nilai tertentu (ketika didekati dari arah sisi kiri, f(x) mendekati nilai 1 dan ketika didekati dari arah sisi kanan, f(x) mendekati nilai 4).
Dengan demikian,

Langkah-langkah menghitung nilai limit untuk x -> a
(1) Masukkan/substitusikan nilai x = a, jika ada nilainya maka nilai itu adalah nilai limitnya.
(2) Jika setelah dimasukan nilai x = a diperoleh nilai nol per nol atau nol pangkat nol , maka ditempuh :
• jika f(x) dapat difaktorkan, maka faktorkan
• jika f(x) dalam bentuk akar, maka rasionalkan dengan cara mengalikan dengan bentuk sekawannya

Contoh 4
Hitung nilai

Penyelesaian :
Dengan mensubstitusikan nilai x = 3 diperoleh :

Contoh 5
Hitung nilai

Penyelesaian :
Dengan mensubstitusikan x = 2 diperoleh :
Karena diperoleh nol per nol, maka langkah selanjutnya dengan cara memfaktorkan pembilangnya :

Contoh 6
Hitung nilai

Penyelesaian :
Dengan mensubstitusikan x = 9 diperoleh :
Karena diperoleh nol per nol, maka langkah selanjutnya dengan cara mengalikan dengan sekawan dari bentuk akarnya.
Dengan demikian,
  

Sekian, semoga bermanfaat....

Related Posts:

Tata cara menulis Abstrak dengan baik dan benar



“Abstrak” (abstract) merupakan sebuah elemen yang harus ada dalam semua jenis tulisan akademis, mis. artikel ilmiah, skripsi, tesis, dan disertasi. Sekadar informasi, jika Anda sedang mempersiapkan artikel ilmiah untuk jurnal, tanpa abstrak, artikel Anda kemungkinan besar akan ditolak. Atau jika beruntung, Anda akan dikontak oleh pengelola jurnal untuk harus melengkapinya dengan abstrak. Ini disebabkan salah satu item penilaian akreditasi jurnal adalah bahwa setiap tulisan yang terdapat di dalam jurnal tersebut mesti mengandung abstrak.
Sebagai dosen yang setiap tahun membimbing para mahasiswa dalam penulisan karya ilmiah tahap akhir, saya selalu berhadapan dengan pertanyaan yang sama:bagaimana menulis abstrak?; unsur-unsur apakah yang harus ada di dalam abstrak? Pun, sebagai editor in chief dari dua jurnal ilmiah, saya selalu mendapati mayoritas kontributor yang menyertakan abstrak untuk artikelnya tidak menulisnya sesuai dengan kandungan elemen-elemen yang harus ada di dalam sebuah abstrak.
Dalam pengamatan saya, kenyataan di atas sebenarnya lebih disebabkan oleh kurangnya pembekalan mengenai teknis menulis karya ilmiah di berbagai academia. Bukan hanya itu, secara psikologis, kita cenderung langsung ingin menulis apa yang kita pikir perlu kita tulis tanpa merasa perlu memakai banyak waktu mengetahuibagaimana menulis apa yang hendak kita tulis. Maka, tulisan ini saya kira penting sebagai suplemen informatif bagi para akademisi yang sedang berjibaku dengan karya tulis ilmiah.
Elemen-elemen
Abstrak adalah ringkasan dari seluruh isi sebuah tulisah ilmiah. Selain harus mencantumkan informasi bibliografisnya (nama penulis, judul, tahun, dan jumlah halaman), isi abstrak seharusnya mengandung elemen-elemen kunci yang akan dijelaskan secara ringkas di bawah ini:
  1. Latar belakang. Di bagian ini, Anda perlu memberikan rangkuman informasi mengenai latar belakang atau lebih spesifik pokok masalah yang Anda geluti di dalam karya ilmiah Anda.

  2. Tujuan. Di bagian ini Anda perlu mengemukakan tujuan penulisan karya ilmiah Anda.

  3. Implikasi. Di bagian ini Anda mengemukakan implikasi praktis dari hasil riset Anda (jika ada).

  4. Metode. Di bagian ini Anda perlu mengemukakan metode riset yang Anda gunakan.

  5. Hasil. Di bagian ini Anda mengemukakan temuan-temuan yang Anda hasilkan dalam riset Anda.

  6. Kesimpulan. Kemukakan kesimpulan akhir dari hasil riset Anda di sini.
Mengingat kandungan elemen-elemen kunci di atas, sebuah abstrak baru dapat ditulis setelah seluruh proses penulisan karya ilmiah sudah dilakukan.
Mengenai panjangnya, bergantung jenis karya ilmiah yang Anda tulis, termasuk juga bergantung teknis penulisan yang diacu di sebuah perguruan tinggi atau di sebuah jurnal. Untuk artikel jurnal, biasanya sebuah abstrak tidak boleh lebih dari 150 kata. Untuk skripsi, tesis, dan disertasi, kisaran jumlah katanya antara 300-500 kata.
Mengenai bentuk penyajiannya, Anda dapat memilih bentuk terstruktur dengan menyebut elemen-elemen di atas. Biasanya ini digunakan dalam penulisan artikel-artikel ilmiah (lih. contoh capture di bagian akhir artikel ini). Dalam penulisan skripsi, tesis, dan disertasi, umumnya abstrak ditulis dalam bentuk paragraf-paragraf naratif. Entah dalam bentuk terstruktur maupun dalam bentuk naratif, semua elemen di atas harus terkandung di dalam sebuah abstrak.
Kegunaan
Mengenai artikel jurnal, sudah di singgung di atas bahwa abstrak diharuskan ada karena itu merupakan salah satu poin penilaian akreditasi jurnal. Selain itu, abstrak juga berguna untuk keperluan peer review (penelaahan sejawat atau penilaian sejawat). Abstrak menolong mitra bestari (lih. paragraf di bawah) untuk mendapatkan gambaran umum mengenai tulisan Anda sebelum ia melakukan pembacaan yang lebih detail.
Sekadar informasi tambahan, peer review adalah telaah dari pakar dalam bidang yang sama dengan isu yang dibahas dalam sebuah tulisan ilmiah. Pakar yang melakukan peer review disebut mitra bestari. Biasanya ini dilakukan di jurnal-jurnal ilmiah termasuk juga di beberapa perguruan tinggi yang tidak mengunakan sistem “meja hijau” (oral defense) untuk karya ilmia tahap akhir semisal tesis atau disertasi.
Untuk karya-karya ilmiah seperti skripsi, tesis, dan disertasi yang diuji pada “meja hijau” (oral defense), abstraksi dimaksudkan, mirip seperti untuk keperluan peer review di atas, menolong para penguji untuk mendapatkan gambara awal mengenai karya ilmiah Anda.



Akhirnya, karena para Kompasianers ada yang masih berstatus mahasiswa, termasuk juga ada para dosen di sini yang tentu terlibat dalam pembimbingan, saya percaya ini akan bermanfaat sebagai masukan dan atau pengingat. Bahkan manfaatnya bisa lebih luas, harapan saya, mengingat Kompasiana dapat diakses bukan hanya oleh para Kompasianers.

Writing and learning and thinking are the same process” (William Zinsser).
Sekian, Semoga bermanfaat !!!

Related Posts:

Pertumbuhan Ideologi pada Perang Dunia dan Gerakan Kemerdekaan di Asia-Afrika

A. Faham liberalisme, sosialisme, nasionalisme, pan Islamisme dan demokrasi


1. Liberalisme
Suatu paham kebebasan, yang mengharapkan kemajuan diberbagai bidang atas dasar kebebasan individu yang dapat mengembangkan bakat dan kemampuannya. Tokoh pemikirnya Voltaire, JJ Rosseau, Montesqieu, John Locke. Contoh negara penganut paham ini adalah AS, Inggris dan Perancis.
2. Sosialisme
Suatu paham yang bertujuan ingin membentuk masyarakat tanpa kelas.
Ada 3 macam bentuk sosialisme yaitu
a. Sosialisme Utopia
  • yaitu suatu cita-cita yang berusaha menciptakan suatu bentuk masyarakat yang dapat mencukupi kebutuhan masyarakat sendiri. Hal ini disebabkan oleh adanya kesenjangan ekonomi dan sosial antara si kaya dan miskin. Tokohnya Thomas More.
b. Sosialisme agama
  • Suatu paham berdasarkan agama (Kristen) yang memperbaiki masyarakat melalui ajaran para nabi.
c. Sosialisme Ilmiah/modern
  • Suatu paham yang dikembangkan berdasarkan Ilmu pengetahuan modern dan penyelidikan terhadap masyarakat.Tokohnya Karl Mark dan Frederick Engels.
3. Pan Islamisme
Suatu paham yang ingin menyatukan umat Islam diseluruh dunia. Tokohnya Jamaludin Al Afgani dan Attahtawy.
4. Demokrasi
Adalah pemerintahan rakyat yaitu pemerintahan dari rakyat, oleh rakyat dan untuk rakyat. Tokohnya Thomas Jefferson, John Locke dan JJ Rosseau.
5. Nasionalisme
Yaitu perasaan cinta terhadap bangsa dan negara yang ditimbulkan oleh persamaan sejarah, agama, bahasa, kebudayaan, pemerintahan, tempat tinggal sebagai milik bersama. Tokohnya Wodrow Wilson.
B. Kesadaran nasional di Asia dan Afrika
Negara-negara di Asia dan Afrika sebagian besar menjadi daerah jajahan Eropa. Hal ini menyebabkan munculnya keinginan dari belenggu penjajahan dan menuntut hak mereka sebagai suatu bangsa.
Di bawah ini adalah contoh kesadaran nasional di Asia Afrika.
a. Nasionalisme Turki dengan tokohnya Mustafa Kemal Pasha
b. Pemberontakan Boxer di Cina melawan kesewenang-wenangan bangsa Barat
c. Rovolusi Cina 1911 dan membentuk Partai Kuo Min Tang dengan ajarannya San Min Chu I yang terdiri dari Demokrasi, Nasionalisme dan Sosialisme.
d. Pemberontakan rakyat Filipina terhadap Spanyol dibuktikan dengan adanya pemberontakan Katipunan dan Hukbalahap.
e. Kebangkitan nasional India dengan tokohnya Mahatma Gandhi melalui ajarannya Ahimsa, hartal, swadesi dan satyagraha. Sebelumnya juga diawali dengan adanya peristiwa Amritsar Massacre dan Indian Mutiny. Di India juga muncul berbagai organisasi seperti Brahma Samadz, Rama Krisna, Santiniketan, Liga Muslim dan All Indian National Congress (AINC).
Kesadaran Nasional dari negara-negara Asia dan Afrika yang lebih dulu muncul memberikan dorongan yang kuat terhadap bangsa Indonesia untuk melakukan pergerakan nasional melawan penjajah.

Muncul dan berkembangnya berbagai macam paham baru di dunia, seperti liberalisme, sosialisme, pan-islamisme, demokrasi, dan nasionalisme, secara langsung maupun tidak langsung, menginspirasi banyak negara, khususnya di Asia dan Afrika. Kedua benua ini merupakan wilayah yang banyak dijajah oleh bangsa Eropa. Munculnya paham tersebut mendorong lahirnya ideologi nasionalis di Asia dan Afrika.
1. Nasionalisme Jepang
Pada masa pemerintahan Shogun, Jepang menjalankan politik isolasi, yaitu politik memisahkan diri dari pihak lain. Politik ini berakhir setelah Comodore Matthew Calbraith Pery dari Angkatan Laut Amerika Serikat berhasil membuka paksa dan mengadakan perjanjian Shimoda pada tanggal 30 Maret 1854 dengan Shogun. Hasil perjanjian ini menyebabkan dibukanya pelabuhan-pelabuhan seperti Yokohama, Nagasaki, Kobe, Tokyo, Osaka, dan Wigata. Pembukaan pelabuhan memungkinkan kapal-kapal asing masuk ke Jepang dan melakukan berbagai aktivitas, misalnya perdagangan.
Pada tanggal 8 November 1867, terjadi penyerahan kekuasaan dari Shogun kepada Kaisar Mutsuhito atau Meiji Tenno yang masih berusia 14 tahun. Pada masa pemerintahan inilah Jepang banyak melakukan perubahan, yaitu sebagai berikut:
a) Memindahkan ibukota dari Kyoto ke Edo (Tokyo)
b) Shintoisme diresmikan menjadi agama negara dengan lagu kebangsaan Kimigayo.
c) Menetapkan Charter Oath (Sumpah Setia) yang berisi 4 asas, yaitu musyawarah, persatuan, keadilan, dan pendidikan.
d) Mengadakan Restorasi Meiji, yaitu pembaruan di segala bidang kehidupan masyarakat yang bertujuan untuk mengejar ketertinggalan dari bangsa Barat. Restorasi ini meliputi bidang pendidikan, ekonomi, dan kemiliteran.
Berbagai perubahan tersebut membawa efek positif yaitu meningkatnya taraf kehidupan masyarakat sehingga sama dengan negara besar lainnya seperti Inggris, Amerika Serikat, Jerman, dan Rusia. Namun, perubahan ini membawa dampak negatif, yaitu Jepang menjadi negara imperialis. Hal ini terbukti dengan timbulnya beberapa kejadian, yaitu sebagai berikut.
1) Perang Jepang dan Cina (1894-1895).
2) Perang Jepang dan Rusia (1904-1905). Perang ini dimenangkan oleh Jepang. Peristiwa kemenangan Jepang atas Rusia memberikan dampak positif terhadap lahirnya pergerakan nasional di Indonesia. Kemenangan ini mengangkat rasa percaya diri bangsa Asia, karena bangsa Asia ternyata juga mampu mengalahkan Eropa dan sekaligus menumbuhkan rasa nasionalisme.
3) Pembentukan Asia Timur Raya.
2. Nasionalisme India
Pergerakan nasionalisme India dimulai dengan adanya pemberontakan Sepoy. Gerakan ini bertujuan menentang kebijakan pemerintah kolonial Inggris. Lahirnya berbagai gerakan nasionalisme dipicu oleh tumbuhnya sekolah-sekolah bagi orang India pada akhir abad ke-19. Pada tahun 1857 berdiri The Indian Mutiry yang beranggotakan wartawan, pengacara dan guru. Ketidakpuasan kepada pemerintahan kolonial Inggris melahirkan pula gerakan politik pada tahun 1885 dengan nama Indian National Congress (INC) di bawah pimpinan C.W. Bannerjee.
Pada tahun 1906, kaum muslim India membentuk Moslem League di bawah pimpinan Muhammad Ali Jinnah dan Liquat Ali Khan. Janji Inggris untuk memberikan kemerdekaan kepada India jika membantunya dalam Perang Dunia 1 (PD-I) tidak ditepati. Hal ini menimbulkan kerusuhan, maka Inggris mengeluarkan Rowlaat Act pada tahun 1919, yang isinya berupa hukuman berat bagi para perusuh.
Peraturan Rowlaat Act menimbulkan banyak kerusuhan. Di antara sekian banyak peristiwa, kerusuhan pada tanggal 13 April 1919 merupakan yang paling berdarah, karena lebih dari 300 orang tewas dan 1.000 orang terluka. Peristiwa ini merupakan akibat dari perintah Jenderal Dyer. Untuk mengatasi hal ini, atas usul Montagu-Chelmsford dikeluarkan India Act pada tahun 1919, yaitu membentuk pemerintahan Inggris-India.
Namun kerusuhan ini tetap tidak berhenti. Dalam keadaan kacau, muncul Pandit Jawaharlal Nehru. Beliau merupakan tokoh yang menuntut kemerdekaan penuh India (Purhaswaraj). Perjuangannya berhasil mengubah status India menjadi negara federal. Selain beliau, muncul pula tokoh nasionalis India yaitu Mohands Karamchand Gandhi atau Mahatma Gandhi (Gandhi yang berjiwa besar). Ia dilahirkan pada tanggal 2 Oktober 1869 di Porbandar. Sekembalinya dari sekolah hukum di London, ia bekerja di Mahkamah Tinggi Bombay. Pada tahun 1893, ia pergi ke Afrika untuk membela hak orang India di sana.
Pada tahun 1914 Gandhi kembali ke India dan menanamkan paham perjuangan yang meliputi:
• Ahimsa, yaitu paham yang melarang penggunaan kekerasan.
• Satyagraha, yaitu kesetiaan kepada kebenaran dan menghindari perbuatan yang salah.
• Swadeshi, yaitu gerakan hidup mandiri.
• Hartal, artinya pemogokan.
Mahatma Gandhi terpilih menjadi ketua Nasional Kongres pada tahun 1924. Setelah Inggris gagal menekan India, akhirnya diadakanlah Konferensi Meja Bundar (Round Table Conference) yang menghasilkan Government Act of India, yaitu pengakuan Inggris atas kemerdekaan India.
3. Nasionalisme Cina
Gerakan nasionalisme didasari oleh adanya kegiatan imperialisme negara Barat. Salah satunya adalah kegiatan perdagangan candu Inggris yang menyengsarakan rakyat. Pada tahun 1842, terjadilah Perang Candu. Dalam perang ini Cina kalah dan dipaksa menandatangani Perjanjian Nanking (1842) yang isinya sebagai berikut:
• Cina harus menyerahkan Hongkong ke Inggris.
• Cina diwajibkan membayar kerugian perang Inggris.
• Kanton dan beberapa pelabuhan Cina lainnya harus dibuka untuk perdagangan Inggris.
Adanya perjanjian ini sangat melemahkan pemerintahan kerajaan Manchu. Rakyat Cina diliputi kemiskinan, sementara orang-orang Eropa hidup dalam kemewahan. Keadaan tersebut menimbulkan kebencian rakyat terhadap Inggris maupun pemerintahan Manchu. Akibatnya, timbullah beberapa pemberontakan. Salah satunya adalah pemberontakan T’ai P’ing (Perdamaian Abadi) pada tahun 1848 di bawah pimpinan Huang Hsiu Chuan. Pemberontakan itu berhasil dipadamkan pada tahun 1865. Dalam suasana kacau, muncullah tokoh bernama Dr. Sun Yat Sen, seorang dokter yang berjiwa nasionalisme Cina untuk mendirikan Republik Cina.
Dr. Sun Yat Sen mendirikan organisasi Chung Hui pada tahun 1894. Setelah dianggap kuat, organisasi ini mengadakan pemberontakan namun mengalami kegagalan. Pemberontakan lain yang terjadi yaitu pemberontakan Boxer. Pada tahun 1905, usaha kedua dijalankan Dr. Sun dengan mendirikan Tung Meng Hui (Liga Revolusioner). Pemerintahan Manchu berhasil diruntuhkan pada tanggal 10 Oktober 1911 di bawah pimpinan Li Yuan Hung. Mereka sekaligus memproklamasikan Republik Cina dengan presiden pertama yaitu Dr. Sun Yat Sen.

Related Posts:

Irisan Dua Lingkaran

1. Penerapan Sifat-sifat Irisan Dua Lingkaran


Sebelum mempelajari topik ini, mari kita ingat kembali beberapa hal berikut ini :
(1) Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
(2) Kedudukan dua lingkaran
Jika M1M2 merupakan jarak antara dua pusat lingkaran dan r1 dan r2 merupakan jari-jari kedua lingkaran, maka :
Dua lingkaran dikatakan berpotongan jika jarak antara kedua titik pusat lingkaran
M1M2 < r1 + r2
Dua lingkaran dikatakan bersinggungan luar jika jarak antara kedua titik pusat lingkaran M1M2= r1 + r2
Dua lingkaran dikatakan bersinggungan dalam jika jarak antara kedua titik pusat lingkaranM1M2 = |r1 - r2|
Dua lingkaran dikatakan tidak bersinggungan luar jika jarak antara kedua titik pusat lingkaranM1M2 > r1 + r2
Dua lingkaran dikatakan tidak bersinggungan dalam jika jarak antara kedua titik pusat lingkaran adalah nol (M1M2 = 0 -> M1 = M2) dan r2 > r1
Namun perlu diketahui juga, dua lingkaran dapat tidak bersinggungan dalam jika salah satu lingkaran berada di dalam lingkaran yang lain, M1 ≠ M2 dan r2 > r1

(3) 
Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah panjang ruas garis yang dibentuk oleh titik-titik singgung lingkaran dengan garis singgung persekutuan dalam.
“Kuadrat dari panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran sama dengan kuadrat dari jarak titik-titik pusat kedua lingkaran dikurangi dengan kuadrat dari jumlah panjang jari-jarinya”.
Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang memiliki jari-jari r1 dan r2 dengan r1 > r2 , serta jarak kedua pusat lingkaran d adalah :

(4) 
“Kuadrat dari panjang ruas garis singgung persekutuan luar dua lingkaran sama dengan kuadrat dari jarak titik pusat kedua lingkaran dikurangi dengan kuadrat dari selisih jari-jarinya”.
Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang memiliki jari-jari r1 dan r2, serta jarak kedua pusat lingkaran d adalah :

Mari kita mencermati beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1
Dua buah roda sepeda yang jarak kedua porosnya adalah 78 cm, roda pertama memiliki panjang jari-jari 50 cm dan roda kedua 20 cm. Pada kedua roda dipasang rantai. Tentukan panjang rantai yang tidak menempel pada roda!

Penyelesaian :
Permasalahan di atas merupakan penerapan dari konsep garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.
Jadi, panjang rantai yang tidak menempel pada roda sepeda adalah 8 cm.

Contoh 2
Sebanyak 8 buah tabung disusun seperti pada gambar di samping, kemudian diikat dengan seutas tali. Jika panjang jari-jari tabung 14 cm, maka tentukan panjang tali terpendek yang digunakan untuk mengikat tabung-tabung tersebut!

Penyelesaian :
  1. Jarak pusat dua lingkaran = diameter lingkaran = 28 cm
  2. Jumlah panjang tali di sudut-sudut tabung = keliling lingkaran = πd = 88 cm
Jadi, panjang tali terpendek yang digunakan untuk mengikat tabung adalah :
(8 x 28 cm) + 88 cm = 312 cm

Contoh 3
Dua lingkaran pada bidang mempunyai titik pusat yang sama. Jari-jari lingkaran besar adalah empat kali jari-jari lingkaran kecil. Jika luas daerah di antara kedua lingkaran adalah 8 satuan luas, hitunglah luas daerah lingkaran kecil.

Penyelesaian :
Misalkan jari-jari lingkaran besar = R dan jari-jari lingkaran kecil = r sehingga diperoleh
R = 4r
Dengan demikian,
Jadi, luas daerah lingkaran kecil adalah 8/15 satuan luas.

Contoh 4
Pak Agus sedang merancang sebuah gerobak seperti tampak pada gambar di bawah ini.
Pada salah satu sisi gerobak tersebut terdapat sebuah papan berbentuk trapesium yang menghubungkan kedua roda gerobak. Apabila jari-jari roda yang besar adalah r1 = 13 cm, jari-jari roda yang kecil adalah r2 = 6 cm, jarak titik pusat roda L1 dan roda L2 adalah M1M2 = 25 cm, maka berapakah luas papan yang menghubungkan kedua roda tersebut?

Penyelesaian :
Kita hitung terlebih dahulu panjang garis singgung persekutuan luar PQ.
Adapun luas trapesium PM1M2Q adalah
Jadi, luas papan penghubung kedua roda tersebut adalah 228 cm2 

2. Penerapan Konsep Irisan Dua Lingkaran dalam Masalah Kehidupan Sehari-hari

Jam dinding, ban mobil, dan mata uang logam merupakan beberapa contoh benda-benda yang memiliki bentuk dasar lingkaran. Pada bab sebelumnya, kalian telah mempelajari dan mengenal tentang irisan kerucut yang terdiri atas kurva-kurva parabola, elips dan hiperbola. Namun dalam bentuk-bentuknya yang istimewa kita juga akan memperoleh sebuah lingkaran pada irisan kerucut. Pada irisan kerucut, lingkaran terbentuk karena bidang datar mengiris seluruh bagian dari salah satu selimut kerucut dan tegak lurus sumbu kerucut.

Mari kita ingat kembali pengertian lingkaran. Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Selain itu tentunya anda juga telah mempelajari topik tentang kedudukan dua lingkaran. Untuk menyegarkan ingatan anda tentang topik tersebut, silahkan perhatikan uraian materi berikut ini.

1. Kedudukan dua lingkaran
Misalkan M1M2 merupakan jarak antara dua pusat lingkaran dan r1 dan r2 merupakan jari-jari kedua lingkaran, maka berlaku :
Dua lingkaran dikatakan berpotongan jika jarak antara kedua titik pusat lingkaran
M1M2 < r1 + r2

Dua lingkaran dikatakan bersinggungan luar jika jarak antara kedua titik pusat lingkaran M1M2= r1 + r2
Dua lingkaran dikatakan bersinggungan dalam jika jarak antara kedua titik pusat lingkaranM1M2 = |r1 - r2|
Dua lingkaran dikatakan tidak bersinggungan luar jika jarak antara kedua titik pusat lingkaranM1M2 > r1 + r2
Dua lingkaran dikatakan tidak bersinggungan dalam jika jarak antara kedua titik pusat lingkaran adalah nol (M1M2 = 0 -> M1 = M2) dan r2 > r1
Namun perlu diketahui juga, dua lingkaran dapat tidak bersinggungan dalam jika salah satu lingkaran berada di dalam lingkaran yang lain, M1 ≠ M2 dan r2 > r1

2. Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran yang memiliki jari-jari r1 dan r2dengan r1 > r2, serta jarak kedua pusat lingkaran d adalah :

3. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran yang memiliki jari-jari r1 dan r2serta jarak kedua pusat lingkaran d adalah :

Mari kita cermati beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1:
Diketahui persamaan lingkaran
L1 : x2 + y2 + 8x + 6y - 56 = 0 
L2 : x2 + y2 - 8x - 6y - 24 = 0 
Tunjukkan bahwa kedua lingkaran tersebut berpotongan!

Penyelesaian
Syarat dua lingkaran berpotongan adalah jika jarak antara kedua titik pusat lingkaran lebih kecil dari jumlah kedua jari-jari lingkaran. Misalkan M1M2 merupakan jarak antara dua pusat lingkaran dengan r1 dan r2 adalah jari-jari kedua lingkaran, maka M1M2 < r1 + r2
L1 : x2 + y2 + 8x + 6y - 56 = 0
mempunyai pusat M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (8) , -1/2 (6)) = (-4, -3)
dan

L2 : x2 + y2 - 8x - 6y - 24 = 0
mempunyai pusat M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-8) , -1/2 (-6)) = (4,3)
dan

M1M2 merupakan jarak dari (-4 , -3) ke (4,3).

Karena r1 + r2 = 9 + 7 = 16 dan M1M2 = 10, maka M1M2 < r1 + r2.
Dengan demikian, kedua lingkaran berpotongan.

Contoh 2:
Diketahui persamaan lingkaran
L1 : x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0 
L2 : x2 + y2 - 12x + 20y + 55 = 0 
Tunjukkan bahwa lingkaran saling bersinggungan di luar!

Penyelesaian
Syarat dua lingkaran bersinggungan di luar adalah
M1M2 = r1 + r2
L1 : x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0
mempunyai pusat M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (6) , -1/2 (-4)) = (-3, 2)
dan

L2 : x2 + y2 - 12x + 20y + 55 = 0
mempunyai pusat M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-12) , -1/2 (20)) = (6 , -10)
dan

M1M2 merupakan jarak dari (-3 , 2) ke (6 , -10).

Karena r1 + r2 = 6 + 9 = 15 = M1M2 maka kedua lingkaran bersinggungan di luar.

Contoh 3:
Diketahui persamaan lingkaran
L1 : x2 + y2 + 20x - 12y + 72 = 0 
L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0 
Tunjukkan bahwa kedua lingkaran tidak berpotongan!

Penyelesaian
L1 : x2 + y2 + 6x - 4y - 23 = 0
mempunyai pusat M1(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (20) , -1/2 (-12)) = (-10, 6)
dan

L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0
mempunyai pusat M2(-1/2 A , -1/2 B) = (-1/2 (-4) , -1/2 (-2)) = (2,1)
dan
Ada dua jenis lingkaran dikatakan tidak berpotongan, yaitu dua lingkaran tidak berpotongan luar dengan M1M2 > r1 + r2 dan dua lingkaran tidak berpotongan dalam (sepusat / jarak antara dua titik pusat lingkaran (M1M2) adalah nol ⟺ M1 = M2 dan r1 > r2 dan tidak sepusat).
Sekarang, kita akan mengecek titik pusat dari kedua lingkaran tersebut untuk menunjukkan kedua lingkaran tersebut tidak berpotongan luar atau tidak berpotongan dalam.

Titik pusat lingkaran pertama terhadap lingkaran kedua.
Substitusi pusat (-10,6) terhadap lingkaran L2 : x2 + y2 - 4x - 2y - 11 = 0
Syarat titik berada di dalam lingkaran adalah K < 0
Karena
K = (-10)2 + 62 - 4(-10) - 2(6) - 11 = 100 + 36 + 40 - 12 - 11 = 153 > 0 
maka pusat lingkaran pertama berada di luar lingkaran kedua.

Titik pusat lingkaran kedua terhadap lingkaran pertama.
Substitusi pusat (2,1) terhadap lingkaran L1 : x2 + y2 + 20x - 12y + 72 = 0
Syarat titik berada di dalam lingkaran adalah K < 0
Karena
K = 22 + 12 + 20(2) - 12(1) + 72 = 4 + 1 + 40 - 12 + 72 = 103 > 0 
maka pusat lingkaran pertama berada di luar lingkaran pertama.

Jadi , dapat kita simpulkan bahwa kedua lingkaran tidak berpotongan dalam, selanjutnya akan kita tunjukkan bahwa kedua lingkaran tersebut tidak berpotongan luar.
Syarat dua lingkaran tidak berpotongan luar adalah
M1M2 > r1 + r2
M1M2 merupakan jarak dari (-10,6) ke (2,1)

Karena
M1M2 = 13
r1 + r2 = 8 + 4 = 12
maka M1M2 > r1 + r2
Dengan demikian, kedua lingkaran tidak berpotongan di luar.

Contoh 4:
Diketahui jari-jari lingkaran L1 yaitu r1 = 13cm dan jari-jari L2 yaitu r2 = 6cm.
Jika jarak titik pusat kedua lingkaran adalah M1M2 = 25cm, maka tentukan panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut!

Penyelesaian
Diketahui :
• r1 = 13cm
• r2 = 6cm
• M1M2 = 25cm
Ditanyakan : panjang garis singgung persekutuan luar PQ

Jadi , panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran adalah 24 cm.

Sekian, Semoga bermanfaat !
Share and Comment !

Related Posts: